2026 高考数学 · 全国Ⅰ卷

一先理解问题，再动手计算

想象五名学生参加身高排序。老师要求找到站在队伍正中间的人。

应该怎么做？不是把所有人的身高加起来求平均，也不是从原来的名单里直接挑第三个人。

而是先让五个人按照身高从低到高排队，再观察中间是谁。

这就是本题的数学模型：把杂乱的数据变成有序的数据，再寻找中间位置。

二亲自解题：让五个数字排队

原来的数据为：6、8、4、5、12。

我们从最小的数开始找：先找到 4；剩下的数里，5 最小；接下来是 6，然后是 8，最后是 12。

观察 6 的位置：它左边是 4、5，右边是 8、12。两边各有两个数，所以 6 正好位于中间。

三换一种思维：从两端逐层向内寻找

这里可以训练一种很有价值的数学思维：缩小问题，但保留问题的本质。

为什么这样做是对的？因为我们每次都从左右两边各拿走一个数。原来处于中间的数，在新的队伍中仍然处于中间。

这种方法体现了递归思维的基础：把一个较大的问题转化为结构相同的较小问题，重复处理，直到剩下一个数。

四学生容易卡在哪里？

特别要区分两个概念：本题的中位数是 6，而算术平均数是：

它们描述数据的方式不同，不能混为一谈。

五从一道题建立可以迁移的数学思维

第一种：有序化思维。当信息杂乱时，先建立顺序，再解决问题。

第二种：位置思维。题目寻找的是“谁处于中间”，而不是“数值平均是多少”。

第三种：递归与不变性思维。每次同时去掉一个最小值和一个最大值，中间位置不会改变。这样就可以把五个数据的问题变为三个数据的问题，再变成一个数据的问题。

再进一步想：如果有 7 个数，我们能不能也从两端依次去掉一对，直到剩下一个？可以。因为这一方法利用的是奇数个有序数据的共同结构。

这才是从一道具体的题，建立可以反复使用的数学方法。

一先看懂题目：什么叫“不共线”？

向量既有大小，也有方向。如果两个向量共线，它们的方向相同或相反，可以通过倍数关系相互表示。

如果两个非零向量不共线，说明它们不能仅靠伸长、缩短或反向来互相代替。

想象在平面上移动一个物体：沿 a 方向移动多少，再沿 b 方向移动多少，就能决定最后到达哪里。

本题说的是：两种不同的移动方案，最后到达了同一个位置。

二亲自解题：先把相同方向放在一起

题目给出：

左边的移动方案：沿 a 方向，系数为 2；沿 b 方向，系数为 y。

右边的移动方案：沿 a 方向，系数为 x；沿 b 方向，系数为 −3。

由于 a、b 不共线，两个方向上的系数必须一一相等：

所以 x＝2，y＝−3。把数值代回原式，两边都变成 2a−3b，等式成立。

三真正的难点：为什么可以直接比较系数？

不能因为式子左右都出现了 a 和 b，就不加条件地断定系数相等。我们用更严格的数学推理说明。

将原式的所有项移到左边：

假设 2－x ≠ 0，就能够移项并得到：

这意味着 a 是 b 的倍数，两者必然共线。

但题目明确告诉我们：它们不共线。因此，假设不成立，必须有 2－x＝0。

代回上面的向量等式，得到 (y＋3)b＝0。由于不共线保证 b≠0，所以 y＋3＝0。

这才是系数能够分别相等的根本原因。

四容易卡住的地方

五进一步培养数学思维

尝试反过来思考：如果题目没有“不共线”这个条件，会怎样？

例如，假设 a＝b≠0，原式变成：

于是只要求 x－y＝5 就能满足等式。此时 x＝2、y＝−3 是一组解，但 x＝5、y＝0 也是一组解。

这说明：不共线不是一道题里的装饰性条件，而是保证答案唯一的关键条件。

六归纳成可以迁移的方法

对于更一般的题目：

只要 a、b 不共线，就一定有：

这里训练的是分解思维与结构识别能力：先识别彼此独立的方向，再分别处理各个方向上的信息。

这道题不需要真正使用递归算法。更重要的是掌握一种反复适用的推理结构：识别条件 → 分解方向 → 比较系数 → 验证结果。

一先搞清楚：这道题究竟在考什么？

解题的关键是：先把三角函数表达式转化成具体数字，再进行集合比较。

不能直接拿 sin(7π6) 去和 −√32 比较外观，因为不同的数学表达式可能代表相同的数。

二第一步：把弧度还原成容易理解的角度

我们知道：π＝180°。因此：

为什么要判断象限？因为三角函数的正负号，与终边所在象限有关。先判断正负，再计算数值，可以有效避免符号错误。

三第二步：真正求出三个三角函数值

所以：

四第三步：求两个集合的交集

现在问题已经从三角函数题变成了非常直观的集合题。

−12 和 1 都同时出现在两个集合中，而 12 只属于 A，−√32 只属于 B。

因此：

五学生最容易卡在哪里？

六建立真正可以迁移的数学思维

还可以从单位圆理解这些符号：角对应单位圆上的一个点，余弦是横坐标，正弦是纵坐标，正切是纵坐标与横坐标的比值（横坐标不为零时）。

这样学生就不必孤立地死记诱导公式，而能够从几何位置推导三角函数的正负。

一先理解问题：一个点加一个斜率

题目给出曲线

直线的点斜式是 y－y₀＝k(x－x₀)。题目已经给出切点 (x₀，y₀)＝(1，5)，未知的只有切线斜率 k。

数学思维：导数的几何意义，就是曲线在指定点的瞬时变化率，也就是切线斜率。因此 k＝f′(1)。

二亲自求导，计算斜率

分别对两项求导：线性函数 (5x)′＝5；对数函数 (ln x)′＝1x。常数系数 8 保留下来。

将切点的横坐标 x＝1 代入导数，而不是把整个点 (1，5) 同时代进去：

从图形上理解：曲线在切点附近可以用一条斜率为 13 的直线近似。这是一种把局部曲线问题转化成直线问题的思路。

三用点斜式写出切线

1. 1
   确认切点：(x₀，y₀)＝(1，5)。
2. 2
   求切线斜率：k＝f′(1)＝13。
3. 3
   代入点斜式：y－5＝13(x－1)，展开得到 y＝13x－8。

核对：把 x＝1 代回直线，右边为 13－8＝5，确实经过给定点。

四考点、易错点与迁移思考

考点：对数求导、导数的几何意义，以及直线的点斜式。

易错点 1：(ln x)′＝1/x，不是 ln x；别漏掉前面的系数 8。

易错点 2：导数 f′(x) 是一个函数；必须再代入 x＝1，才能得到这条切线的斜率 13。

易错点 3：不能把斜率 13 直接当成直线的常数项。

一把题目转化成两个确定的抛物线

已知 C₁：y²＝2p₁x，C₂：x²＝2p₂y，且 p₁、p₂ 均大于零。两条曲线都经过点 (4，8)，意味着将该点分别代入两个方程，均应成立。

观察方程：y 平方而 x 不平方的抛物线沿 x 轴开口；x 平方而 y 不平方的抛物线沿 y 轴开口。p＞0 表示分别向右、向上开口。

二先求第一条抛物线的焦点

将 (4，8) 代入 C₁：

所以第一条曲线为 y²＝16x。标准式 y²＝4ax 的焦点为 (a，0)。比较系数：4a＝16，得到 a＝4。

形象理解：这是向右开口的抛物线，焦点位于正 x 轴上，而不在曲线经过的点 (4，8) 上。

三再求第二条抛物线的焦点

将 (4，8) 代入 C₂：

所以第二条曲线为 x²＝2y。标准式 x²＝4ay 的焦点为 (0，a)。比较系数：4a＝2，得到 a＝1/2。

在坐标系中标出两个焦点：F₁ 在 (4，0)，F₂ 在 (0，1/2)。它们的水平间隔是 4，竖直间隔是 1/2。

四构造直角三角形，利用勾股定理

1. 1
   把两个焦点的横坐标相减：4－0＝4。
2. 2
   把两个焦点的纵坐标相减：0－1/2＝－1/2；距离计算时平方，符号不影响结果。
3. 3
   套用两点间距离公式：|F₁F₂|＝√[4²＋(1/2)²]＝√(65/4)＝√652。

五考点、易错点与迁移思考

考点：待定系数法、两类标准抛物线的焦点坐标、平面两点距离公式。

最易出错：题目写的是 2px 或 2py，而标准式常写 4ax 或 4ay。此时焦点对应的非零坐标是 p/2，而不是 p。

一理解题意

已知函数：

函数的最大值恰好为 1，意味着存在某个点 x₀，使得：

这里的数学思维是：函数取得最大值的地方，如果可导，那么导数等于零。本题选项均为正数，因此分母恒正，函数处处可导。要注意：导数等于零只是必要条件，不代表该点一定是最大值。

二求导，建立方程

利用商的求导法则，先对分子、分母分别求导：

整理得：

1. 1
   利用函数值：因为 f(x₀)＝1，所以 x₀＋2e^x₀＋a＝1，即 e^x₀＋a＝x₀＋2。记为式①。
2. 2
   利用驻点条件：因为 f′(x₀)＝0，所以分子为零，得到 a＝(x₀＋1)e^x₀。记为式②。
3. 3
   联立消去 a：将②代入①，得 e^x₀＋(x₀＋1)e^x₀＝x₀＋2；合并为 (x₀＋2)e^x₀＝x₀＋2，于是 (x₀＋2)(e^x₀－1)＝0。
4. 4
   判断两个可能值：x₀＝－2 或 x₀＝0。当 x₀＝－2 时，分子为零，函数值不可能是 1，故舍去。因此 x₀＝0。
5. 5
   求得参数：把 x₀＝0 代入②，a＝(0＋1)e⁰＝1。

三验证确实是最大值

当 a＝1 时：

我们知道指数函数有一个重要不等式：

因此 e^x＋1 ≥ x＋2。因为分母 e^x＋1 恒为正数，所以：

当 x＝0 时，等号成立：

所以函数在整个定义域上的最大值确实是 1，验证完成。

四高考考点与易错点

考点一：商的求导法则，注意分子、分母的求导顺序。

考点二：最大值点的导数为零，是必要条件，但不能仅凭导数为零就断定取得最大值。

考点三：利用 e^x ≥ 1＋x 验证全局最大值。

一先写出十二行塔数

题目给出前五行为 1、3、3、5、5。第 6～12 行组成首项为 7、公差为 2 的七项等差数列：

因此 12 个原始数字为：

先核对总和：1＋3＋3＋5＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝108。没有漏数，才能谈配对。

二整体思维：配对不会改变总和

设配对后的 6 个和从小到大为 b、b＋d、b＋2d、b＋3d、b＋4d、b＋5d，其中 d＞0。

这一等式不依赖具体怎么配。我们先不用试任何一种配法，就获得了公差必须满足的条件。

三奇偶性思维：把公差限制为 4 的倍数

注意原始 12 个数字全部为奇数。每组由两个奇数组成，因此每组和都是偶数。

所以首项 b 是偶数，2b 必须是 4 的倍数。根据式①，36 和 2b 都是 4 的倍数，5d＝36－2b 也一定是 4 的倍数。

公差 d＞0，因此 d 只能从 4、8、12……中选择。

四极值思维：排除过大的公差

任何一组最小可能之和不小于 1＋3＝4，最大可能之和不大于 19＋17＝36。

六项等差数列首尾相差 5d，所以：

结合 d 必须是 4 的正整数倍，唯一可能就是 d＝4。

五亲自构造配对，证明答案真的能实现

将 d＝4 代回式①：2b＋5×4＝36，得 b＝8。因此六个和应当是 8、12、16、20、24、28。

1. 1
   先筛范围：从全部为奇数推知每一组和为偶数，再从总和推出 d 是 4 的倍数。
2. 2
   再定公差：利用首尾和的差不超过 32，得 d≤6.4，因此只能是 d＝4。
3. 3
   最后验存在：用表中的六组配对逐一核对，12 个数没有重复、没有遗漏，所有和等差。

这一步非常重要：前面只是证明 d 只能等于 4；实际构造配对才证明这个值确实可行。

六考点、易错点与迁移思考

考点：等差数列求和、整除性质、奇偶性与最值估计。

易错点：只证明 d 是 4 的倍数就停止；或者只写出 d＝4，却没给出任何合法配对。

一理解样本空间：为什么是 63 个点？

每个坐标 x₁、x₂、x₃ 都能从 {－2，－1，1，2} 中取 4 种值。三个位置独立组合，原集合 U 有 4×4×4＝64 个点。

删掉 P＝(1，1，1) 后，Ω＝U\{P} 只剩 63 个点，随机取点的含义是每个剩余点都以相同概率 1/63 被选到。

题目令 X＝x₁＋x₂＋x₃，因此 E(X) 就是这 63 个点的坐标和 X 的平均值。

二对称思维：原来的 64 个点总和为零

集合 {－2，－1，1，2} 关于 0 对称：－2 和 2 配对、－1 和 1 配对。

对 U 中任一点 A＝(x₁，x₂，x₃)，一定存在相反数点 A′＝(－x₁，－x₂，－x₃)。对应的 X 值互为相反数。

原来的 64 个点能两两配成 32 对，每对之和都等于零：

三删掉一个点，谁还留在集合里？

被删除的 P＝(1，1，1)，对应 X(P)＝1＋1＋1＝3。它本来与 (－1，－1，－1) 配对，二者贡献分别是 ＋3 和 －3。

删除 P 后，(－1，－1，－1) 仍然保留，因此整体不再抵消：

其余 62 个点依然能组成 31 对，留下的不平衡贡献恰好为 －3。

四由总和直接计算期望

1. 1
   确定等可能结果数：|Ω|＝64－1＝63。
2. 2
   利用对称性算总和：原来全部 X 的总和为零，删除 P 后为 －3。
3. 3
   取平均：E(X)＝－363＝－121。

负号是合理的：我们删去一个 X＝＋3 的点，剩下的整体平均值自然略微偏向负数。

五考点、易错点与迁移思考

考点：等可能事件、数学期望的平均值意义、对称性与补集思想。

易错点：认为原集合对称就直接写 E(X)＝0；删除一个不在原点的元素后，对称性已经改变。另一个常见错误是仍用 64 作分母，而不是剩下的 63。

一从实部和虚部认识复数

已知 z＝3＋2i，其中 i²＝－1。实部是 3，虚部是 2。将它看成复平面上的点 (3，2)，就能把共轭和模与图形联系起来。

共轭对应关于实轴的镜像，模长对应平面上点到原点的距离。几何理解会让符号运算更有依据。

二A 选项：共轭复数

共轭复数的规则是：实部保持不变，虚部变号。因此：

A 正确。

三B 选项：复数的模

复数 z＝a＋bi 的模，计算的是平面点 (a，b) 到原点的距离，使用勾股定理而不是相加：

√13 不等于 5，因此 B 错误。容易误算成 3＋2＝5，忽略了模的几何含义。

四C 选项：复数的平方

利用完全平方公式 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²：

特别注意 i²＝－1，所以 4i²＝－4，不能写成 ＋4。

C 正确。

五D 选项：商是否是实数

先把 z＝3＋2i 代进去：

分子恰好是分母的 2 倍，分母 3＋i 不为零，可以直接约分。结果 2 没有虚部，因此是实数，D 正确。

1. 1
   先看结构：给出 z＝3＋2i，确认 z 的实部为 3、虚部为 2。
2. 2
   分别判定：A 看共轭的符号，B 用勾股计算模，C 牢记 i²＝－1，D 优先观察能否约分。
3. 3
   再做总核对：A 正确、B 错误、C 正确、D 正确。

六考点、易错点与迁移思考

考点：复数共轭、复平面的距离、复数的代数运算、实数的虚部等于零。

易错点：模不是实部加虚部；复数平方要把 i² 改成 －1；遇到复数除法先观察结构，再决定是否需要乘共轭。

一先补基础：二面角并不等于任意两条线的夹角

把两个半平面想成沿直线 AB 展开的两张纸，沿着书脊 AB 观察，夹角是 60°。但从 A 向纸面上的 C、D 分别连线，得到的 ∠CAD 并不一定等于这个二面角。

同时要分清：一个点到直线 AB 的距离，是它到 AB 的垂线段长度；并不要求点 C、D 在 AB 上的垂足相同。

我们把 AB 设为 x 轴，A 设为原点。允许 C、D 沿 x 轴自由移动，用两个实数 u、v 表示它们的位置。

解释坐标：C 到 x 轴的距离为 2；D 的横截面坐标长度为 1，且和 C 的垂直方向构成 60°。这准确保留了题目给定的几何条件。

二先判 A：∠CAD 一定不小于 60° 吗？

不能把二面角的 60° 直接当作 ∠CAD 的下界。对于声称“所有情况都成立”的命题，只要找到一个合法反例便能否定。

取 u＝v＝2，则 C＝(2，2，0)，D＝(2，1/2，√3/2)。两个向量是：

用向量数量积计算夹角：

由于 √(5/8) ＞ cos60°＝1/2，且夹角的余弦越大，角反而越小，所以 ∠CAD＜60°。

因此 A 错误。

三判断 B：两点距离为什么至少是 √3？

写出两点 C、D 的坐标差，使用空间两点间距离公式：

平方数不可能为负，故 CD²≥3，进而 CD≥√3。当 u＝v 时，刚好等于 √3。

因此 B 正确。这里的数学思维是：把空间距离平方拆成“沿 AB 的位置差平方”和“垂直于 AB 的固定截面距离平方”。

四判断 C：AB⊥CD 能推出线面垂直吗？

由坐标得到 CD⃗＝(v－u，－3/2，√3/2)。AB 沿 x 轴，因此 AB⊥CD 的条件等价于其 x 分量为 0，即 v－u＝0。

另一方面，AD⃗＝(v，1/2，√3/2)。计算数量积：

所以 CD⊥AD。再加上已知 AB⊥CD，且 AB、AD 是平面 ABD 内两条相交直线，因此：

因此 C 正确。注意线面垂直判定定理要求垂直于平面内两条相交直线，不能只凭垂直一条就下结论。

五判断 D：AB⊥平面 ACD 时，AC⊥AD 吗？

AB 沿 x 轴。若 AB⊥平面 ACD，则 AB 同时垂直 AC、AD，从而 C、D 的 x 坐标必须都是 0，即 u＝v＝0。

此时它们的数量积为 2×(1/2)＝1≠0，所以 AC 不垂直 AD。实际上，两条直线的夹角正好是 60°，而不是 90°。

因此 D 错误。两条直线同时垂直于第三条直线，并不意味着彼此垂直。

六高考考点、易错点与迁移思考

考点：二面角的定义、空间向量数量积、两点距离公式、线面垂直判定。

易错点：透视图会改变视觉角度，不能凭图断言 ∠CAD≥60°；线面垂直的判定要找平面内两条相交直线；空间中“同时垂直同一直线”不等于“彼此垂直”。

一先看出三个圆的几何结构

三个圆心分别为 O₁＝(－1，0)，O₂＝(1，0)，O₃＝(0，√3)，半径都等于 1。任意两个圆心相距 2，因此它们构成一个边长为 2 的正三角形，三个圆两两外切。

对一个半径为 r 的圆，圆心到直线的垂直距离为 h，弦长为 s。连接圆心到弦的中点，用勾股定理得到：

本题 r＝1，因此 s＝2√(1－h²)。若要与圆相交于两个不同点，必须满足 h＜1，等于 1 只会相切。

将 l：y＝kx＋b 改写为 kx－y＋b＝0，代入三个圆心的点到直线距离公式：

后面的每个选项，都只需要围绕这三个距离分析。

二判断 A：斜率 k 真能取任意实数吗？

“任意”意味着每个实数斜率都能找到一个截三个圆的合适截距 b。要否定它，只需找到一个不可能的斜率。

取 k＝1/√3，此时直线垂直于连接 O₂＝(1，0) 与 O₃＝(0，√3) 的线段。两圆心距离为 2，沿直线法线方向恰好相差 2。

对于这样的直线，它到 O₂、O₃ 的距离之和至少为 2；但若同时穿过两个单位圆且均形成非零弦长，就要求两个距离都严格小于 1，它们的和严格小于 2，矛盾。

A 错误。

三判断 B：三段弦长相等，为什么恰好三条直线？

半径相同，弦长 s＝2√(1－h²) 随 h 增大而减小，因此：

三个不共线的圆心到同一直线等距。因为只有直线的两侧，必有两个圆心在同一侧，并且它们到直线距离相等，这说明直线平行于这两个圆心的连线。

正三角形共有三条边，对应三个可选方向。每一种方向上的等距位置唯一，得到：

三条线到每个圆心的距离均为 √3/2＜1，故弦长均为 2√(1－3/4)＝1，全部满足相交于两个不同点。

三个方向都可行，且其他方向不可能，所以恰好三条，B 正确。

四判断 C：总弦长等于 3，能构造超过三条吗？

“超过 3 条”只需要构造至少 4 条，不需要穷举所有解。取过原点的直线 b＝0，令 S＝s₁＋s₂＋s₃。

此时 h₁＝h₂＝|k|/√(1＋k²)，h₃＝√3/√(1＋k²)。要求三个圆都被截出非零弦，需 |k|＞√2。

令 t＝√(k²－2)＞0，则：

让 S＝3，两边平方并整理：

再利用 k²＝t²＋2，得到：

这对应四条不同的直线 l：y＝kx，且都满足 |k|＞√2，确实各截三个圆于两个点。

至少已有四条，因此 C 正确。

五判断 D：b＝0 时，弦长和最大值是多少？

仍沿用上面的变量 t＞0：

使用柯西不等式，把分子写成两个向量的数量积：

代入 S，得到：

求最大值不能只证明“≤”，还要检查是否能取等号。柯西不等式在 t/√3＝1/(2/√3) 时取等号，解得 t＝3/2。

于是 k²＝t²＋2＝17/4，即 k＝±√17/2，符合 |k|＞√2，三个圆均被截成非零弦。

所以最大值确实达到 2√21/3，D 正确。

六高考考点、易错点与迁移思考

考点：圆的标准方程、圆心到直线的距离、垂径定理、平面几何的对称性、构造存在性、不等式最值。

易错点 1：“相交于两个点”不包括相切，所以 h＜1 必须是严格不等式。

易错点 2：说“恰好三条”必须既证明有三条，也证明没有第四条；但说“超过三条”构造四条便够了。

易错点 3：最值题只写上界是不充分的，还必须确认等号发生时的直线满足题目所有限制。

一先理解双曲线的标准方程

题目给出 5x²－6y²＝1。横向开口双曲线的标准式为：

将原方程中的系数写到分母，而不是直接把 5、6 当成 a²、b²：

因此：

由于 x² 项为正、y² 项为负，双曲线的两支向左、向右张开；但求离心率时不必先画出精确曲线。

二求焦距参数 c

双曲线有一个必须掌握的关系：

代入刚才求出的两个分母：

注意与椭圆区别：双曲线是“加”，椭圆是 c²＝a²－b²。

三计算离心率，尽量少开根号

离心率定义是 e＝c/a。为了减少根号运算，可以直接计算 e²：

离心率取正值，所以：

1. 1
   把方程化为 x²/(1/5)－y²/(1/6)＝1，确定 a²＝1/5、b²＝1/6。
2. 2
   用双曲线关系 c²＝a²＋b² 算出 c²＝11/30。
3. 3
   用 e²＝c²/a²＝11/6，最后取正平方根并化简为 √66/6。

最后自检：双曲线的离心率总是 e＞1；本题 e＝√(11/6)＞1，符合性质。

四考点、易错点与迁移思考

考点：双曲线标准式、a² 与 b² 的识别、c²＝a²＋b²、离心率 e＝c/a。

易错点 1：5x² 的标准式分母是 1/5，而不是 5。

易错点 2：不要将双曲线公式 c²＝a²＋b² 误记成椭圆的减法关系。

易错点 3：注意 e、a、b、c 都表示正值，离心率最终取正平方根。

一理解题意，先区分两个未知量

原函数为 f(x)＝2sin(ax＋θ)，其中 a 是整数，0≤θ＜2π。题目没有要求直接求出唯一的 a，而是要求相位 θ 和指定点的函数值。

偶函数意味着任意 x 都有 f(－x)＝f(x)。在 (0，π/2) 上严格递增意味着对于该区间内任意 x₁＜x₂，都有 f(x₁)＜f(x₂)，不能只检查某一个点。

注意 a＝0 时函数为常数，不能严格递增，所以 a≠0。

二由偶函数确定相位 θ

将 x 和 －x 分别代入函数。因为 f(－x)＝f(x)，所以：

用和差化积公式，将等式移到同一边：

因为 a 是非零整数，sin(ax) 不可能对所有 x 恒为零。所以要让上式对所有 x 成立，只能是：

又有 0≤θ＜2π，故只有两个可能：

这个步骤体现了函数性质控制参数的思路：一旦题目要求整体对称，含 x 的变量部分不可能随意抵消，只能通过固定相位使式子恒成立。

三由单调性排除 θ＝π/2

当 θ＝π/2 时，原函数变为：

此时 f(0)＝2 已经是整个函数能够达到的最高值。无论非零整数 a 取多少，在 0 右侧足够近的点处，cos(ax) 都小于 1，因此函数从 0 右侧开始向下走，不可能在整个 (0，π/2) 上严格递增。

故 θ＝π/2 不成立，只能得到：

于是函数转化成更容易研究的余弦形式：

图形可以帮助我们理解：－2cos(ax) 在 x＝0 附近处于最低点，向右会先上升；但如果 a 太大，它会在区间结束前再次下降，因此还要继续限制频率。

四由整个区间递增限制整数 a

对 f(x)＝－2cos(ax) 求导：

当 a＞0 时，希望 f′(x) 在 0＜x＜π/2 内保持非负，且不能出现一段下降区间。sin(ax) 首次由正变负的位置是 x＝π/a，因此必须满足 π/a≥π/2，即 a≤2。

当 a＜0 时，利用 cos(－ax)＝cos(ax)，函数与取 |a| 时相同，所以也必须满足 |a|≤2。

关键提醒：本题 a 不唯一，但是题目需要的两个填空仍然可能唯一。不能因为发现多个 a，就提前断定题目没有确定答案。

五分类代入，发现相同的函数值

把 x＝2π/3 代入：

若 a＝±1，则 cos(±2π/3)＝－1/2：

若 a＝±2，则 cos(±4π/3) 仍等于 －1/2，所以同样得到 1。

1. 1
   奇偶性：令 f(－x)＝f(x)，用和差化积得 cosθ＝0，确定 θ 只有 π/2、3π/2 两种可能。
2. 2
   单调性：排除 θ＝π/2，再分析－2cos(ax) 在 (0，π/2) 上递增，得到 a＝±1、±2。
3. 3
   求指定值：将四种 a 分别代入 2π/3，均得到 cos＝－1/2，故函数值为 1。

六考点、易错点与迁移思考

考点：三角函数的奇偶性、诱导公式、导数与单调区间、整数参数的分类讨论。

易错点 1：偶函数条件给出两个候选相位，不可直接选其中一个。

易错点 2：只知道 f′ 在某一点大于零，不代表整个区间严格递增，必须防止区间中途掉头。

易错点 3：不要假定 a 必须唯一；题目只要求 θ 和特定函数值。

一先把前缀和拆成每三项的和

题目给出任意正整数 n 都满足：

“前 3n 项的和”并不意味着每一项都已确定。但我们可以用相邻前缀和作差，求出每个三项分组的和：

令第 n 个三项块的和为 Gₙ，则：

因此每三项一块的和依次为 2、4、6、8、10、……。具体块内三项如何分配仍有自由度。

这是差分思想：题目给的是累计总量，先用相邻总量之差还原每个分组的信息，避免盲目求单项通项。

二连续九项等比，为什么会出现 q³？

假设数列中某连续九项形成公比为 q 的等比数列：

在这九项内，任取一段连续三项的和：

把这一段整体向后移动三项：

所以，只要连续九项包含两个相邻的完整原始三项分组，它们的和也相差一个固定倍数 q³。

因为每一个 Gₘ＝2m＞0，故 q³＞0，从而 q＞0。这样就把原先“存在一个等比数列”的复杂要求，转换成一个只含 m 的简单式子。

三九项不能只看第 1 组和第 2 组

如果机械地取 m＝1，会得到 q³＝G₂/G₁＝4/2＝2，看起来 q＝∛2 更大。但这个结果不能实现。

因为要让连续九项包含第 1 组 a₁、a₂、a₃，九项只能从 a₁ 开始；这样又会把第 2 组和第 3 组完整包含进去。

两者矛盾，所以连续九项不可能从 a₁ 开始并构成同一个等比数列。

若从 a₂ 或更后开始，无论起点落在三项组的第 1、2、3 个位置，连续九项内都至少包含两个相邻的完整三项组。因为不再可能包含第 1 组，所以可选到的最早完整组编号满足 m≥2。

因此：

到这里，我们证明了公比不可能超过 ∛(3/2)。但最值问题不能止于上界，还要证明存在能够取到它的数列。

四构造实际数列，让上界确实取到

现在取 q＝∛(3/2)，故 q³＝3/2。安排连续九项 a₂、a₃、…、a₁₀ 构成等比数列：

这里完整落在九项中的第 2 组为 a₄＋a₅＋a₆，按前面结论必须等于 4。于是设定：

用这一个 t，就已经使第 2 组的和满足 4。第 3 组的和也会自动正确：

接着补齐九项之外的数，让所有三项组满足要求。例如：

对于所有 n≥5，再设：

检查：第 1 组和为 2，第 2 组和为 4，第 3 组和为 6，第 4 组和为 8，以后每组和为 2n；因此每个前 3n 项之和都等于 n²＋n，且 a₂ 到 a₁₀ 连续九项确实构成公比 q 的等比数列。

上界能够取到，构造完成。

五高考考点、易错点与数学思维

考点：前缀和作差、三项分组、等比数列性质、不等式上界和存在性构造。

易错点 1：连续九项并不一定恰好对齐三个完整三项块，因此不能未经讨论就把它们分为前三项、中三项、后三项。

易错点 2：看到第 1、2 组的比值为 2 就立即宣布 q＝∛2，忽略了第 3 组给出的矛盾条件。

易错点 3：只证明 q≤∛(3/2) 还不是完整的最值证明，必须构造一个数列使等号成立。

一先读懂空间图形，不急着上坐标

已知 ABC－A₁B₁C₁ 是直三棱柱，说明 AA₁、BB₁、CC₁ 都垂直于底面 ABC。底面 ∠ACB＝90°，且 AC＝BC，是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形。

D 是线段 AB 的中点，E 是线段 AC₁ 的中点。注意 E 并不在上底面 A₁B₁C₁ 的边上，而在斜线 AC₁上，位置认错会影响整道题。

这张教学重绘图主要帮助识别点与线的连接关系，空间角度和长度应以题目条件与证明为准，不能依靠透视图直接估算。

二第一问：寻找中位线证明线面平行

看见两个中点 D、E，应先问：它们能否同时作为同一个三角形两边的中点？

在三角形 ABC₁ 中，D 是 AB 的中点，E 是 AC₁ 的中点，故由三角形中位线定理：

而 BC₁ 是侧面 BCC₁B₁ 内的一条对角线：

D 位于 AB 内部而不在侧面 BCC₁B₁ 中，因此 DE 不包含于该平面。根据线面平行判定定理：

第一问证毕。这里是典型的“中点 → 中位线 → 线线平行 → 线面平行”推理结构。

三第二问：把给定线面角转换到 BC₁

已知 CC₁＝2，DE 与平面 ACC₁A₁ 的夹角是 45°。由于 DE∥BC₁，平行线与同一平面的所成角相等，所以可以研究 BC₁ 与平面 ACC₁A₁ 的夹角。

在底面三角形中有 BC⊥AC；直三棱柱又保证 BC⊥CC₁。由于 AC、CC₁ 是平面 ACC₁A₁ 内两条相交直线，因此：

所以点 B 到该平面的垂足是 C，而点 C₁ 本来就在平面 ACC₁A₁ 上。于是斜线 BC₁ 在该平面上的正射影是 CC₁。

因此，直线 BC₁ 与该平面所成的角，就是 ∠BC₁C：

这一步体现了线面角的定义：线面角是斜线和它在平面上的正射影之间的夹角，并不是透视图中任意一个看似 45° 的角。

四在直角三角形中求出底面边长

因为侧棱 CC₁ 垂直底面，所以 BC⊥CC₁，三角形 BCC₁ 是直角三角形。

已知 ∠BC₁C＝45°，CC₁＝2。根据正切定义：

又因底面 AC＝BC，故：

至此，把空间角条件转化成了一个确定的、可以用于计算距离的底面长度。

五把线面距离转换成中点的点面距离

第一问已经证明 DE∥平面 BCC₁B₁，因此直线上每一个点到该平面的垂直距离都相同。选取点 E 最容易计算：

由于 AC⊥BC，同时 AC⊥CC₁（直棱柱侧棱垂直底面），而 BC、CC₁ 是侧面 BCC₁B₁ 中两条相交直线，所以：

点 C 位于侧面 BCC₁B₁ 内，因此点 A 到该平面的距离恰好等于 AC＝2。

E 是 AC₁ 的中点，C₁ 位于目标平面内。沿线段 AC₁ 从 A 走到平面上的 C₁，垂直距离按比例线性变化，所以中点 E 到该平面的距离是 A 到该平面距离的一半：

1. 1
   第一问：识别三角形 ABC₁ 的两边中点，得 DE∥BC₁，进而 DE∥平面 BCC₁B₁。
2. 2
   转移线面角：以 BC₁ 代替 DE；利用 BC⊥平面 ACC₁A₁，得到 ∠BC₁C＝45°。
3. 3
   求边长：在直角三角形 BCC₁ 中用 tan45°＝BC/CC₁，得 BC＝2，进而 AC＝2。
4. 4
   求距离：利用 AC⊥侧面，A 到侧面距离为 2；E 是 AC₁ 中点，到侧面距离为 1；DE 与侧面平行，所求距离同为 1。

六高考考点、易错点与迁移思考

考点：三角形中位线定理、线面平行判定、线面角及正射影、线面垂直判定、平行线面之间的距离。

易错点 1：E 是 AC₁ 的中点，不是 A₁C₁ 的中点；这是图形识别的首要卡点。

易错点 2：二面中的一个视觉角不一定等于线面角。求线面角时必须先确定斜线的正射影。

易错点 3：不能直接把 DE 的长度当作线面距离。只有对应的垂线段长度才是距离。

一先补基础：余弦定理解决没有直角的三角形

已知 AB＝3，BC＝2√3，cos B＝√3/3。题目没有给出直角，不应直接使用勾股定理。余弦定理在任意三角形中都成立：

把全部已知量代入，注意根号相乘时 √3×√3＝3：

这一步发现一个隐藏信息：AB＝AC＝3，所以三角形 ABC 是等腰三角形，角 B 与角 C 也相等。

二第一问：再用余弦定理计算 cos A

现在三个边长都已经知道，求角 A 最直接的办法是使用余弦定理的变形：

第一问完成。观察 cos A＝1/3＞0，可以判断角 A 为锐角，这也方便我们接下来建立坐标系。

三画出真实位置：D 是在 A 的外侧

题目要求 D 在 BA 越过 A 的延长线上，因此顺序是 B—A—D，而不是把 D 放在线段 AB 内。这一点决定了参数的符号。

此外，DE∥BC，AE⊥AC。后一条件提示：把 AC 画成一条水平线，就能让 E 的横坐标等于 A 的横坐标。

图为教学示意，具体坐标与线段长度以题目条件和后面的计算为准。

四建立坐标：把几何关系转化为代数关系

令 A＝(0，0)，C＝(3，0)。因为 AB＝3 且 cos A＝1/3，B 的横坐标是 3cos A＝1。

又由 sin²A＋cos²A＝1，且 A 为锐角：

选取 B 位于水平轴上方，则 B 的纵坐标是 3sin A＝2√2：

从 B 指向 C 的方向向量为：

D 在 BA 越过 A 的延长线上。设 t＞0，则 D 可表示为：

因为 AE⊥AC，而 AC 是 x 轴，所以点 E 必须形如 E＝(0，h)。再利用 DE∥BC，设存在实数 λ，使：

对比横坐标：DE⃗ 的横向分量是 0－(－t)＝t，因此：

由 t＞0 得 λ＞0。这是延长线条件带来的重要限制。

五第二问：利用 DE＝√6 求 E，再求 CE

由于 DE 与 BC 平行，有 DE＝λ·BC。因此：

进一步得：

于是：

把向量 DE⃗ 加到 D 上，就得到点 E：

所以 AE＝6。因为 AE⊥AC，三角形 AEC 是直角三角形，满足：

1. 1
   求第三边：用余弦定理求 AC²＝9，得到 AC＝3。
2. 2
   求角 A：再次用余弦定理得到 cos A＝1/3，并求得 sin A＝2√2/3。
3. 3
   建立坐标：置 A(0，0)、C(3，0)、B(1，2√2)，令 D(－t，－2√2t)，t＞0。
4. 4
   应用平行与垂直：由 AE⊥AC 得 E 的横坐标为 0；由 DE∥BC 得 t＝2λ。
5. 5
   由长度确定 E：DE＝√6 导出 λ＝1/√2、t＝√2，最后 E(0，－6)，由勾股定理得 CE＝3√5。

六高考考点、易错点与迁移思考

考点：余弦定理、三角函数与坐标转换、平行向量成比例、垂直关系的坐标表达、直角三角形勾股定理。

易错点 1：D 在 BA 的延长线上，A 位于 B、D 之间；若错放到 AB 内部，参数符号会反过来。

易错点 2：求出 AC＝3 后不要停，第一问需要的是 cos A，不是第三边长度。

易错点 3：DE∥BC 表示方向向量成比例，若没有结合 D 的位置，不应直接默认比例系数为正。

一先读懂停止规则：X=N 有特殊意义

练习最多投 N 次，每次命中概率 p，未命中概率 1－p；各次投篮相互独立。若某次命中，当即停止；如果始终不中，投满 N 次也停止。

因此 X 表示实际投篮次数，而不是命中次数。X＝1 表示第一投命中；X＝2 表示第一投不中、第二投命中；一直到 X＝N，情况会发生变化。

最后一个公式没有再乘 p，因为只要前 N－1 次都未中，无论最后一次中不中，实际投篮次数都等于 N。

二第一问：N=4，p=1/3 的分布列

已知 N＝4，单次命中概率 p＝1/3，未命中概率 1－p＝2/3。随机变量 X 只可能取 1、2、3、4。

X＝1：第一次命中：

X＝2：第一次未中，第二次命中：

X＝3：前两次未中，第三次命中：

X＝4：前三次都未中，因此必须进行第四次，不论第四次结果如何都停止：

最后检查总概率：

概率总和为 1，说明四种情况没有遗漏、没有重复。

三第二问①：将 X＞k 翻译成事件

题目要求 k≤N－1 时的 P(X＞k)。不要急着套公式，先问：实际投篮次数大于 k，必须发生什么？

答案是：前 k 次必须全部未命中，否则前面一旦命中就已经停止，不会进入第 k＋1 次。

由于投篮独立，每次投失概率均为 1－p，所以：

当 k＝0 时，必然至少投一次，右边为 1，也成立。

四第二问②：证明条件概率等式

题目要证明当 k＋m≤N－1 时：

先理解含义：已知前 k 次已经全部未中，接下来再连续投失 m 次的概率，与直接从一开始连续投失 m 次的概率相同。因为每次投篮独立，过去的失败不会改变后续概率。

根据条件概率公式：

令 A＝{X＞k＋m}，B＝{X＞k}。由于 k＋m≥k，若投篮次数超过 k＋m 次，必然也超过 k 次，所以 A⊂B，A∩B＝A。

因此：

把上问的结论代入，并利用 0＜p＜1 保证分母非零：

题设 k＋m≤N－1 保证求这些概率时尚未触及“最多 N 次”的停止上限，因此式子有效，证毕。

1. 1
   分布列：逐项解释 X＝1、2、3、4；前三项为先失败后命中，最后一项只要求前三次失败。
2. 2
   事件翻译：X＞k 等价于前 k 次全部未中，所以 P(X＞k)＝(1－p)ᵏ。
3. 3
   条件概率：用事件包含关系与条件概率公式，相除得到 (1－p)ᵐ＝P(X＞m)。

五考点、易错点与迁移思考

考点：独立重复试验、有限次截断的几何分布、随机变量分布列、事件包含、条件概率和无记忆性。

易错点 1：把 X＝N 误认为“前 N－1 次失败，第 N 次必须命中”，错误地再乘 p。

易错点 2：把 X＞k 当作“第 k＋1 次命中”，实际上它只要求前 k 次连续未中。

易错点 3：无记忆性不代表超过 N 后还能继续投篮。需要遵守 k＋m≤N－1 的范围。

一先求椭圆方程：焦点与离心率已经足够

椭圆标准式为 x²/a²＋y²/b²＝1，且 a＞b＞0。已知左焦点 F(－1，0)，所以焦距参数 c＝1。

离心率定义为 e＝c/a，已知 e＝1/2，因此：

对椭圆，a²＝b²＋c²，所以：

由此得到：

注意双曲线用 c²＝a²＋b²，椭圆则是 c²＝a²－b²，不能混淆。

二关键几何观察：O 是 PR 的中点

椭圆方程的 x、y 都是平方项，因此若 P＝(x，y) 在椭圆上，那么 (－x，－y) 也必然在椭圆上。

由于直线 PO 经过原点 O，所以它与椭圆的另一交点恰好是：

三角形 PQR 以 PR 为底，而 O 是 PR 的中点，故直线 QO 将其分成两个等面积三角形：

这一步是整道题的转折点：把难以直接计算的 PQR 面积，改写为一个包含原点 O 的三角形面积。

三第二问①：建立焦点弦的方程

设直线 l 的斜率为 k＞0，且过焦点 F(－1，0)，所以直线方程为：

令 t＝x＋1，即 x＝t－1、y＝kt。代入椭圆方程 x²/4＋y²/3＝1：

两边乘 12 并整理，得到一元二次方程：

设两个实根分别为 u＞0 与－v＜0，其中 u、v＞0。根据根与系数关系，记 T＝3＋4k²：

两个交点的坐标分别为：

F 位于 P、Q 之间，所以对应的两段焦点弦长为：

现在只要用面积条件推出 u、v 的比例，就能由根与系数关系求出 k。

四第二问①：把面积比化成线段比例

已知 S_△PQR＝3S_△PFO。结合刚才的中心对称关系：

三角形 POQ、POF 具有共同底边 PO；同时 P、F、Q 共线，Q、F 到 PO 的高之比等于沿直线 PQ 的线段 PQ、PF 之比。因此：

结合面积条件，可得：

由于 F 在 P、Q 中间，PQ＝PF＋FQ。因此 FQ/PF＝1/2；又因为两段长度分别为 v√(1＋k²)、u√(1＋k²)，所以：

代入前面的根与系数关系：

再将 v＝6/T 代入，得到：

即：

由于 k＞0，因此：

所以第二问①要求的直线方程为：

这里的思维技巧是：几何面积比 → 焦点弦长度比 → 方程的根之比 → 斜率，避免直接将三个点全部代入面积公式展开。

五第二问②：重新让 k 变化，求角的最小正切值

这一问没有上一小问的面积等于三倍条件，不能直接沿用 k＝√5/2。重新设任意 k＞0，仍令 T＝3＋4k²，u－v＝6/T，且 P、Q、R 的坐标关系如上。

记 w＝u－v＝6/T。由 R＝－P，得到在顶点 Q 出发的两个向量：

平面向量的夹角 θ 满足（当点积为正时）：

这里二维叉积表示两向量组成的行列式绝对值。先求分子：

再求点积：

由于 w＝6/T，化简中括号：

所以：

因此 ∠PQR 为锐角，正切值为：

空间中的动点已经消失，问题化成了一个单变量的正数最值。因为 k＞0，由基本不等式：

取等号当且仅当：

此时 k＞0，满足直线过 F、Q 在第三象限等条件，所以最小值可取到：

1. 1
   确定椭圆：焦点给 c＝1，离心率给 a＝2，求出 b²＝3。
2. 2
   抓对称：R＝－P，故 O 是 PR 中点；面积 PQR 等于面积 POQ 的两倍。
3. 3
   设焦点弦：令 l：y＝k(x＋1)，代入椭圆得 (3＋4k²)t²－6t－9＝0。
4. 4
   解面积条件：由面积比推出 FQ/PF＝1/2，即 v＝u/2，再用根与系数关系求 k＝√5/2。
5. 5
   做最值：重新将 k＞0 视为变量，用向量夹角公式化为 4k＋3/k≥4√3，检查等号可取。

六考点、易错点与迁移思考

考点：椭圆方程和离心率、中心对称性、焦点弦、面积比例、一元二次方程的根与系数关系、向量夹角与基本不等式。

易错点 1：R 是 P 关于 O 的对称点，不是 Q 的对称点。误认 R 会直接破坏面积关系。

易错点 2：S_△PQR＝2S_△POQ；漏掉系数 2，会算错第一小问的斜率。

易错点 3：第②①问的斜率是由给定面积条件决定的，而第②②问需要遍历所有 k＞0，不能把第一个斜率固定不动。

易错点 4：得到 4√3 只是证明下界，还要验证 k＝√3/2 满足取值约束并能取到等号。

导读懂新定义：D(x₀) 表示什么？

固定起点 x₀，再从数轴上移动一个实数步长 d。只要移动后的函数值严格大于移动前的函数值，这个 d 就属于 D(x₀)：

步长 d 不一定为正。向左移动也可能使函数值增加；但 d＝0 永远不在 D(x₀) 中，因为原地不动不会严格增加。

若 D(v)⊆D(u)，表示“在 v 处能够上升的每一个步长，在 u 处也都能够上升”。请特别注意，包含方向与函数值的大小方向是反过来的。

一第一问：计算 D(−1)

此问规定 x＜0 时 f(x)＝2^x，x≥0 时 f(x)＝1－x。先算起点处的函数值：

要找全部 d，使 f(－1＋d)＞1/2。关键是 跨越 x＝0 时函数表达式会改变，所以应以 d＝1 为界分类。

端点检查：d＝1 时，新位置为 0，f(0)＝1＞1/2，应包含；d＝3/2 时恰好等于 1/2，不满足严格大于，必须排除。

二第二问：奇函数与 D 集合的分类

此问 f 是奇函数。先利用 f(－x)＝－f(x) 补全右半轴的表达式：当 x＞0 时，有－x＜0，故 f(－x)＝2^－x，于是 f(x)＝－2^－x；又因奇函数在 0 处取值为 0。

这说明负半轴的函数值始终为正，正半轴的函数值始终为负；两个半轴内部各自严格递增，但整个实数轴上并不递增。

现在已知 f(x₁)≤f(x₂) 且 x₁x₂≠0，按两点所在半轴讨论：

若 x₁＜0、x₂＞0，则 f(x₁)＞0＞f(x₂)，与已知的 f(x₁)≤f(x₂) 矛盾，因此不可能发生。

所有情形均满足：

第二问证毕。这一问的重点不是计算量，而是分类要完整，包含关系的方向不能写反。

三第三问①：证明 f(0)≥1

第三问不再假设奇函数，只保留负半轴公式和下面两条条件：

条件①：若 f(a)≤f(b)，则 D(b)⊆D(a)。条件②：若 0＜x＜1，则 f(x)＜f(0)。

先把条件①翻译成可直接使用的推理规则：

也就是说：一旦某个步长 d 能使较高起点 b 的函数值上升，它就必须也使较低起点 a 的函数值上升。

下面采用反证法，假设 f(0)＜1。

负半轴上的指数函数满足 2^－t→1（t→0⁺）。因此，可以选取足够小的 0＜t＜1，使：

再取一个正步长 d＝t/2。因为－t＋d＝－t/2＜0，且－t/2＞－t，所以：

这说明 d∈D(－t)。由 f(0)＜f(－t) 及条件①，必有 D(－t)⊆D(0)，故 d∈D(0)。于是：

但 d＝t/2∈(0，1)，与条件②规定的 f(d)＜f(0) 正好矛盾。

故假设不成立，得到：

四第三问②：从局部条件推出整个正半轴严格递增

这一问需要连续完成三个证明动作：先确定 (0，1) 上的函数值范围，再扩展到整个正半轴，最后利用负半轴的上升步长证明正半轴严格递增。

证明结束。整个证明没有预设正半轴的表达式，而是把负半轴的上升步长通过集合包含关系传递过去。

五考点、卡点与迁移思考

核心考点：新定义集合、分段函数、奇函数、分类讨论、反证法、指数函数极限、抽象函数的单调性。

卡点一：“f(a)≤f(b)”对应的是“D(b)⊆D(a)”。要避免把两个 D 集合的包含方向写反。

卡点二：第三问从没有要求 f 在整个 ℝ 上递增。事实上，f(0)≥1，正半轴的函数值却都≤0，在原点右侧存在明显的函数值落差。

卡点三：证明正半轴递增不能直接调用条件①。必须先证 f(x)≤0（x＞0），再用负半轴上真正有效的正步长 d，把严格增加“传递”过去。